柏拉图说，学习算术是为了灵魂本身去学的，而且又因为这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径。在第一次数学危机后，几何逐渐成为希腊数学的主力学科——它更加体现了希腊数学的独一无二，更加代表了希腊科学的精神，把演绎的精神、证明的精神发挥得淋漓尽致，成为西方理性精神的代言人、理性思维的练习曲。

　　为了进一步理解希腊科学，除了它的一般特征外，还需要结合它的具体内容做一些解析。人文教化首先要落实到教育的内容中。以雅典为例，自由民的子弟，7—14岁要进初等学校，接受体育和音乐教育。所谓音乐教育，不只包含今天的弹琴唱歌，也包含阅读、写作、诵诗、计算等缪斯传授下来的各种知识。14—17岁的少年接受中等教育，学习文法、修辞、几何等。18岁的青年进入国家设置的青年训练团，接受军事教育。雅典人认为教育的目的是培养全面发展的合格公民，因此在教育科目的设置中，不仅包括一般希腊城邦都设置的体育和音乐教育，而且包括知识教育即科学教育。在《理想国》里，柏拉图对知识教育的科目设置做了仔细地讨论。他认为，除了体育和音乐这些初等教育外，雅典的自由民子弟还应该学习算术、几何、天文学、和声学这4门功课。这5门功课后来成为欧洲博雅教育中的四艺（quadrivium），与文法、逻辑、修辞组成的文科三艺（Trivium）合称自由七艺（seven liberal arts），是中世纪大学基础教育的主要科目。

　　为什么要选择这四门学科作为自由民教育中的必修课呢？因为这四门学科典型地体现了希腊人自由的学术理想。柏拉图在《理想国》第七卷中认真讨论了自由民教育的科目设置问题。在谈到音乐、体育和手工艺这些低等教育之后，柏拉图提出了纯粹为了提升灵魂朝向至善之境的高等教育问题。他举出了算术：“我们必须竭力奉劝我国未来的主人翁学习算术，不是像业余爱好者那样来学，而必须学到他们唯有靠心智才能认识数的性质那种程度；也不像商人和小贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了它的军事上的应用，为了灵魂本身去学的；而且又因为这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径。”在谈到几何时：“为满足军事方面的需要，一小部分几何学和算术知识也就够了。这里需要我们考虑的问题是，几何学中占大部分的较为高深的东西是否能够帮助人们较为容易地把握善的理念。……事实上这门科学的真正目的是纯粹为了知识。”在谈到天文学时，格劳孔强调天文学的实际功用，他说：“对年月四季有较敏锐的理解，不仅对于农事、航海有用，而且对于行军作战也一样是有用的。”苏格拉底批评他说：“如果我们要真正研究天文学，并且正确地使用灵魂中的天赋理智的话，我们就也应该像研究几何学那样来研究天文学，提出问题解决问题，而不去管天空中的那些可见的事物。”柏拉图强调了算术、几何、天文这些科目的目的不是实用，而是帮助把握善的理念。

　　四艺最早来自毕达哥拉斯学派，而且这个学派极大地发展了算术这门学科，使其一度成为希腊数学四科中的显学。“算术”是什么意思？从这个词的中文字面意思看，就是计算的技术、技巧、方法，但这与希腊人的“算术”完全错位。希腊人的算术（arithmetic）准确的说应该是“数论”（number theory），与计算毫不相干。与计算相关的是另一个学科，叫做logistic，译成“算术”正合适。也就是说，希腊人有两个学科，一个是arithmetic，研究“数”的理论，一个是logistic，研究数的计算。这种区分一直持续到15世纪后期，最后用arithmetic统一了这两个方面，即既包括数论也包括计算的学科。近代传到中国，因为中国文化传统里只有计算这一块，便译成“算术”。这个译名对于理解希腊的“算术”（arithmetic）完全是灾难性的。

　　希腊算术研究什么东西呢？研究数的理论。毕达哥拉斯学派对数字有一种异乎寻常的尊崇，他们把“万物即数、数即万物”作为学派的基本教条，发展了一种引人注目的数字神秘主义（numerology）。毕氏学派对于数做了许多分类和命名，有些分类是我们比较熟知的，比如奇数和偶数、素数（质数）和合数等，还有些我们就比较陌生了。比如“完全数”、“亲和数”、“三角形数”等。任何一个数都可以分解成几个真因数的乘积，如果这些因数加起来正好等于这个数，那这个数就称为“完全数”（perfect number）。比如6就是一个完全数，因为它等于1+2+3。如果这个数大于它的真因数之和，称“亏数”（deficient numbers），如果小于则称“盈数”（abundant numbers）。如果两个数互为对方的真因数之和，则称这两个数为“亲和数”（amicable numbers），比如毕达哥拉斯发现了284和220就是两个亲和数。还有一类特别突出的分类命名方法是按照点数形成的几何形状进行。比如，3、6、10都是三角形数，4、9、16是平方形数，5、12、22是五边形数。可以很容易看出，平方形数都是前面两个三角形数之和，比如4是1和3之和，9是3和6之和，16是6和10之和。